양자역학의 철학적 이해

과학철학
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양자역학의 "불완전성 정리"인 epr 패러독스에 대한 영상입니다. 위 영상을 보고 나름 내용을 정리하고자 합니다. 괴델의 불완전성 정리와 유사하게 느껴지게끔 용어를 사용했고 몇몇 표현은 이해하기 쉽게 수정되었습니다. (예를들어, 영상에서는 A or B에서 if ~A then B를 이끌어내는데, 이를 생략하고 바로 if ~A then B를 다루는 식입니다.)

이론의 건전함과 완전함

이론의 건전함sound

어떤 이론이 예측한 결과가 실험을 통해 반증되지 않는다면 그 이론은 정확한 이론이다. 양자역학은 건전한 이론임이 많은 실험을 통해 입증되었다.

아인슈타인은 양자역학이 정확한 이론이라고 생각한다. 그러나, 그는 양자역학이 불완전하다고 생각한다.

이론의 완전함completeness

임의의 물리계 S에서 실재하는 물리량을 모두 예측 가능한 이론이 완전한 이론이다. 어떤 정확한 이론 아래에서 계S에 간섭하지 않고 물리량X를 정확하게 예측할 수 있다면, 이 X는 S에 실재하는 물리량이다.(iff가 아니라 충분조건!)

  • 건전한 이론 T1이 물리계S에서 물리량 X를 정확하게 예측하지 못했는데, 건전한 이론 T2가 물리계S에서 물리량 X를 정확히 예측했다고 하자.

    • 이 경우 X는 S에서 이론 T2를 통해 정확하게 예측이 가능하므로 X는 S에서 실재하는 물리량이다.

    • 그러나 이론 T1은 S에서 실재하는 물리량 X를 정확하게 예측할 수 없으므로 완전한 이론이 아니다.

양자역학과 실재하는 물리량

다음과 같은 두 system S1, S2를 잡자.

S1 : 위치가 정해진 전자.

S2 : 운동량이 정해진 전자.

양자역학은 S1에서 운동량을 정확하게 예측할 수 없다. S2에서는 위치를 정확하게 예측할 수 없다. (불확정성 원리)

claim : 양자역학이 완전하다면, 그 어떤 이론도 S1에서 운동량을 정확하게 예측 할 수 없다.

증명)
결론을 부정해, 이론 T가 S1에서 운동량을 정확하게 예측한다고 하자.
따라서 운동량은 S1에서 실재하는 물리량이다.
양자역학이 완전한 이론이라는 가정에 의해 양자역학은 S1에서 운동량을 정확하게 예측해야 한다.
이는 불확정성 원리에 모순이다.

마찬가지로 양자역학이 완전하다면, 그 어떤 이론도 S2에서 위치를 정확하게 예측할 수 없다.

E0: 양자역학이 완전하다면, 임의의 물리계 S에서 입자의 운동량과 위치가 모두 실재할 수 없다.

양자역학의 관찰과 실재하는 물리량

관찰자가 물리량 X에 대해 계 S를 관찰하면 계 S는 연산자 X에 대한 고유상태로 붕괴한다. 파동함수가 변해 계 S는 물리량 X를 여러가지 값을 가지는 경우의 중첩에서 하나만 가지는 상태로 붕괴한다.

슈뢰딩거 고양이의 비유를 보면, 고양이의 생사 물리량에 대해 관찰을 수행하면 산 고양이와 죽은 고양이가 중첩된 상태에서 고양이가 살아있는 상태(또는 그 반대) 하나로 붕괴한다. 이 상태에서 양자역학적으로 물리량 X를 계산하면 고정된 그 값을 얻을 수 있다.

  • 관찰 전 슈뢰딩거의 상자 : 양자역학적으로 계산하면 산 고양이, 죽은 고양이 중첩, 고양이의 생사는 실재하는 물리량이 아닐 수 있음.

  • 관찰 후 슈뢰딩거의 상자(편의상 살아있음이 관찰됨) : 파동함수가 "산 고양이의 파동함수"로 붕괴. 이 경우 양자역학적으로 계산하면 고양이가 살아있다는 물리량만 나온다고 얻음. 고양이의 생사는 실재하는 물리량이 됨.

따라서 관찰 이전 S에서 X가 실재하는지 그렇지 않은지는 확신할 수 없지만(일반적으로, X에 대한 고유상태가 중첩되어 있다고 하자.) X 관찰 이후 S에서 X는 실재하는 물리량이 된다.

아인슈타인의 최종 주장(EPR 역설)

불확정성 원리는 교환 가능하지 않는 두 물리량이면 모두 성립한다.(입자와 운동량은 대표적인 예시이다.) 따라서 3의 명제 E0는 다음과 같이 수정할 수 있다.

EQ : 양자역학이 완전하다면, 임의의 물리계 S에서 교환 불가능한 두 물리량이 모두 실재할 수 없다.

그러나 아인슈타인은 비국소적 붕괴를 다루는 사고실험에서 다음을 증명한다.

EPR : 양자역학이 완전하다면, 물리계 S0에서 교환 불가능한 두 물리량이 모두 실재한다.

물리계 S0가 정확히 어떤 물리계를 지칭하는지는 다음 설명에서 다룰 것이다.

양자역학이 완전하다면, EQ와 EPR에서 서로 모순되는 결론이 나오므로, 양자역학은 불완전한 이론이다.

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명제 EPR의 System S

두 전자 e1, e2로 구성된 계 U를 잡자. U는 다음과 같은 물리량을 가진다.

  • e1의 위치 x1, e1의 운동량 p1(이하 계 S1)
  • e2의 위치 x2, e2의 운동량 p2(이하 계 S2)
  • e2와 e1의 위치 차 \Delta x= x2- x1 = x0, 운동량 총합 P = p1 + p2 = 0

여기서 \Delta x, P는 양자역학에 따르면 실재하는 물리량이다. (불확정성 원리는 동일한 입자의 운동량과 위치에 대해 성립한다.) 따라서 각각 x0, 0이라는 정확한 값을 가진다 해도 양자역학과 모순이 아니다. 편의상 x0를 1광년이라고 하자. 즉, e1이 e2에 영향을 미치기까지는 아무리 빨라도 1년이 걸린다. e2가 e1에 영향을 미치는 데에도 이 정도 시간이 걸린다.

U 파동함수의 성질

U 파동함수는 x1에 대해 관찰하면 x1과 x2 값이 실재하는 상태로 붕괴한다. 또한 p1에 대해 관찰하면 p1과 p2 값이 실재하는 상태로 붕괴한다.

관찰을 통한 EPR 역설 유도

다음과 같은 두 경우 A, B를 생각하자.

  • case A : t = 0일때 U에서 x1관찰.

    • 이 경우, t = 0 직후 U에서 x1, x2 = x1 + x0이 실재하는 물리량이 된다.

  • case B : t= 0 일때 U에서 p1관찰.

    • 이 경우 t =0 직후 U에서 p1, p2가 실재하는 물리량이 된다.

만약, t < 0일때 x2가 실재하지 않는 물리량이라고 하자. 따라서 t = 0 직후 계 S2의 성질이 x2가 실재하지 않음에서 실재함으로 바뀌었다고 볼 수 있다. 그런데, 우리는 e1과만 상호작용했기 때문에 e1이 e2에게 정보를 전달해야 S2의 성질이 바뀔 수 있다. 이 정보 전달 과정은 1년 이상 걸린다. 이는 t = 0 직후 계 S2의 성질이 변해야 한다는 것에 모순이다.

마찬가지로 p2가 실재하지 않는 물리량이라고 해도 모순을 얻는다.

따라서 t < 0일때 x2와 p2는 S2에서 실재하는 물리량이다. 이로서 S2에서 명제 EPR이 유도되었다.

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