@Herb 님이 올려주신 글과, 첨부된 논문을 읽고 생각난 것들을 끄적여 봤습니다. 특히, 다음 단락과 관련된 내용입니다.
원 논문에서는 다음과 같이 말한다.
If we take the sentences "illogical thought is impossible" or "we cannot think illogically" to indeed present us with thoughts (with senses which we can affirm the truth of), then we concede what a moment ago we wished to deny (namely, that the negation of these sentences preseunt us with a genuine content, one which is able to stand up to the demand for judgment). But if we conclude that these words (which we want to utter in response to the psychologicstic logician) do not express a thought with a sense, then aren't we, if we judge psychologism to be false, equally victims of an illusion of judgment? This is the problem at the heart of the onion.
즉, 논문의 저자는 다음의 문장이 실제로는 생각thought이 아님을 지적하고 있다.
- 비논리적인 생각은 불가능하다.
이것을 논리식으로 옮기면 다음과 같다. ( I(x): x는 비논리적이다, T(x): x는 생각이다 )
- ~∃x ( I(x) ∧ T(x) )
이제 이를 다음의 문장과 대조해 보자. ( G(x): x는 초록이다 )
-
초록색 생각은 불가능하다.
-
~∃x ( G(x) ∧ T(x) )
(1)과 (3)은 형태론적으로 같은 문장이다. 그런데 (3)은 의미가 있는 문장으로 보인다. 그 의미란, 이 세상에 초록색이면서 생각이기도 한 대상이 없다는 것이다. 실증주의자라면 (3)이 반증 가능성 원리 또한 통과한다고 말할지 모른다. 요컨대 세상의 모든 초록색 대상 중 생각에 해당하는 것이 발견되면 (3)은 기각된다는 것이다. (이 입장은, G의 외연에 속하지 않는 대상은 ~G의 외연에 속한다는 입장을 바탕으로 한다) 또한 (3)의 논리적 표현인 (4)는 어떠한 논리적 규칙도 위배하지 않는 것으로 보인다.
그러나 필자가 보기에 (3)과 (4)가 유의미하다는 생각은, 프레게의 표현을 빌리자면 "생각의 환영"에 사로잡힌 것이다. 이 입장을 논증하는 가장 효율적인 방법은 (4)에서 등장하는 무제약적 양화사 ∃x 의 부당함을 피력하는 것이다. x의 범위는 어디까지인가? 내 앞의 사과가 x에 양화될 수 있다면, 사과의 꼭지 또한 x에 양화될 수 있는가? 무언가가 — 이를테면 나뭇잎 — 대상의 부분이 아니라 독립적인 대상으로 고려되어야 하는 기준은 무엇인가? 반대로, 무언가가 — 이를테면 나무 — 대상의 단순한 합이 아니라 독립적인 대상으로 고려되어야 하는 기준은 무엇인가? 수학적 플라톤주의를 인정하여 '자연수 집합' 또한 양화의 대상으로 고려해야 하는가? '신' 또한 양화의 대상인가?
이렇듯 무제약적 양화사는 사용자로 하여금 강한 존재론적 개입을 요구한다. 무제약적 양화사의 사용은 언어 사용자가 세상의 모든 존재자에 대해 사고할 수 있다는 잘못된 전제 위에서 성립한다. (비트겐슈타인은 "이 우주에는 적어도 두 개의 대상이 있다"라는 러셀의 주장이 의미를 결여한다고 비판한 바 있다)
이것을 극복하는 한 가지 방법은 무제약적 존재 양화를 사용하는 대신 x를 T의 진리집합으로 양화시키는 것이다. 요컨대 (4)를 (5)와 같이 수정하는 것이다.
- ∃x ∈ Th : G(x)
여기서 Th는 생각들의 집합이다. 그런데 이렇게 적고 나면, (5)는 적형식이 아니게 된다. 문제는 G를 정의하는 데 있다. 우리가 무제약적 양화를 피하고자 한다면, G의 정의역을 정의하는 데 있어서도 무제약적 양화를 피해야 한다. 즉 a는 가능하지만 b는 불가능하다.
a) G: 물리적 대상 → {T, F} (O)
b) G: 모든 대상 → {T, F} (X)
따라서 (5)는 적형식이 아니다. (5)는 정의역에 속하지 않는 대상을 술어에 적용하고 있으므로 논리적 규칙을 위배한 것이다. 그러므로 (3)은 의미를 결여한 문장이다. 주목할 점은 (3)이 의미가 없는 이유는 형이상학적인 이유 때문이 아니라, 그것의 논리적 표현인 (5)가 논리적 규칙을 위반하기 때문이라는 것이다.
이는 다음의 수학적 예시를 통해 이해할 수 있다. 독자 분은 0 < i 가 올바르지 않은 부등식임을 배웠을 것이다. 왜냐하면 해당 맥락에서 <는 실수 위에서만 정의되기 관계이기 때문이다. 그리고 <가 실수 위에서만 정의 가능한 이유는 실수, 허수, 그리고 <가 요구하는 논리적 규칙들과 연관한다. <의 규칙에 따르면, 양변에 0보다 큰 수를 곱하면 부등호의 방향이 유지되고, 0보다 작은 수를 곱하면 부등호의 방향이 뒤집힌다. 그런데 만약 0 < i 라면 양변에 i를 곱했을 때 0 < -1이 되어 모순이고, i < 0 일 때도 같은 모순이 일어난다. 물론 이는 0 < i 가 거짓임을 의미하지 않는다. 0 < i 가 거짓이라면 0 > i 가 참이어야 하기 때문이다.