두 분이 빠른 속도로 공을 들여 설명해주셨기 때문에, 저는 두 구별이 어떤 의미상의 차이를 일으키는지의 대표적인 예시만 제시하고 가겠습니다.
A가 다음을 믿는다고 해봅시다.
(1) 그는 브루스 웨인이 백만장자라고 믿는다.
그러면 다음 문장은 참일까요?
(2) A는 배트맨이 백만장자라고 믿는다.
다들 알다시피 브루스 웨인은 배트맨이기 때문에 (2)는 얼핏 참인 것처럼 보입니다. 그런데 A가 둘이 동일인물이라는 사실을 모른다고 해봅시다. 그렇다면 A는 (2)를 승인하지 않을 것입니다. 그렇다면 아무리 "배트맨이 백만장자이다"가 참이더라도 A가 이 믿음을 믿지 않기 때문에 (2)는 참이 될 수 없어 보입니다. 이것은 (2)가 대언귀속을 포함한 문장이라는 점에 기인합니다.
반면
(3) A는 배트맨에 대해 그가 백만장자라고 믿는다.
(3)은 (2)와 달리 대상 자체에 대한 (대물적) 귀속을 포함합니다. 그러므로 A가 배트맨이 브루스 웨인과 같다는 점을 모르더라도, (3)은 (2)와 달리 참일 수 있습니다.
또 다른 예시로는 다음의 것들이 있을 수 있겠습니다.

