Benacerraf는 집합론적 실재론에 대한 다음 반론을 제기했다. 산술을 집합론으로 환원하려는 아래 두 정의를 비교해 보자.
R1: ∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅, {∅}}}, ...
R2: ∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, …
두 집합열 모두 자연수 0, 1, 2, 3, ...의 적합한 환원이다. 그러나 다음 질문을 고려해 보자.
Q: 1은 3의 원소인가?
R1에 따르면 답은 '그렇다'이지만, R2에 따르면 '그렇지 않다'이다. 둘 중 무엇이 올바를까? Benacerraf는 주어진 환원이 올바를 필요충분조건은 다음과 같다고 주장한다.
(i) '1', '자연수', '덧셈' 등 산술 언어의 의미를 정의한다.
(ii) 세기(counting)과 같은 수의 적용을 설명한다.
두 조건을 정합성 조건이라고 부르자. R1과 R2 모두 정합성 조건을 만족한다. 따라서 두 환원 모두 올바르다. 그런데 두 환원이 올바르면서 자연수의 본질에 관한 질문(Q)에 다르게 답할 수 있다고? 이것은 이상하다. 이에 Benacerraf는 다음과 같이 주장한다.
그러나 만약 자연수 3이 정말로 집합이라면, 두 가지 올바른 집합론적 환원이 자연수 3을 서로 다른 두 집합으로 환원시키는 일은 있을 수 없다. [...] 따라서 자연수는 집합이 아니다. (Benacerraf 1965, What Numbers Could Not Be)
이로써 Benacerraf는 집합론적 실재론을 거부한다. 대신 그는 구조적 실재론(structuralism)을 주장한다. 이에 따르면 수학은 집합이나 수와 같은 대상을 연구하는 학문이 아니다. 수학은 구조에 대한 학문이다. 산술의 연구 대상은 무한 선형 순서 구조이고, 집합론의 연구 대상은 [이곳에 당신이 선호하는 집합론을 삽입하세요] 구조이다.
그런데 Benacerraf의 논증은 수학적 환원주의에만 국한되는 것일까? 그의 논증을 다음과 같이 일반화해 보자.
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환원이 올바를 필요충분조건은 정합성 조건을 만족하는 것이다.
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환원은 환원되는 대상의 본질을 기술한다
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2에 의해, 올바른 두 환원은 대상의 본질에 관한 모든 질문에 일치하는 답을 제시해야 한다.
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따라서 정합성 조건을 만족하는 두 환원이 불일치한다는 사실은 해당 대상이 그러한 방식으로 환원될 수 없음을 보인다.
정합성 조건을 다음과 같이 바꾸면 우리는 어떤 과학 이론이 관측 가능한 대상들의 성공적인 환원일 필요충분조건을 얻는 것으로 보인다.
(i') '운동량', '빛', '열' 등 관측 가능한 대상들의 의미를 정의한다.
(ii') 충돌과 같은 관측 가능한 대상들의 작용을 설명한다.
이것이 시사하는 바는 무엇일까? 심리학 환원주의를 검토해 보자. 심리학 환원주의에 따르면 '고통'은 아래와 같이 환원될 수 있다.
R1: 고통은 c-섬유가 자극된 상태이다.
그러나 아래와 같이 환원될 수도 있다.
R2: 고통은 조직의 손상을 유발하는 자극에 대한 반응이다.
R1과 R2 모두 정합성 조건을 만족한다. 그러나 두 환원이 다음 질문에 제시하는 답은 다르다.
Q: 고통은 축삭돌기를 가지는가?
R1에 따르면 '예', R2에 따르면 '아니오'이다. 따라서 Benacerraf의 결론을 그대로 적용해 본다면,
그러나 만약 고통이 정말로 물리적 유형이라면, 두 가지 올바른 물리적 환원이 고통을 서로 다른 유형으로 환원시키는 일은 있을 수 없다. [...] 따라서 고통은 물리적 유형이 아니다.
이것은 각각의 '고통 사태'가 어떤 물리적 사태와 동일할지언정, 고통을 한 가지 물리적 유형과 동일시할 수는 없음을 시사한다. 즉, 고통은 물리적 사태와 token-equivalent할지언정 type-equivalent하지는 않다. 이것은 그 유명한 Fodor의 환원주의 반박이다. 따라서 Fodor의 반환원주의와 Benacerraf의 수학적 구조주의는 서로를 보강할 수 있는 것으로 기대된다.
비슷한 논의를 양자역학에서 진행할 수 있다. Tensor product에 대한 다음 두 물리적 해석을 고려해 보자.
R1: Tensor product는 다중 세계의 분화이다.
R2: Tensor product는 양자 상태의 얽힘이다.
두 환원은 경험적으로 동일하지만, 다음 질문에 답하는 방식이 다르다.
Q: 양자역학은 결정론적인가?
R1과 R2가 이 질문에 답하는 방식은 다르지만, 둘 중 어느 하나를 경험적으로 검증할 수는 없다(없을 것으로 보인다). 그렇다면 수학자가 산술의 어느 한 집합론적 환원을 선택할 수 없다는 사실이 구조주의적 전회를 요구하듯이, 과학자가 이론의 어느 한 해석을 선택할 수 없다는 사실 또한 구조주의적 전회를 요구할지도 모른다. 일찍이 Worrall은 과학적 구조주의를 내세워, 과학적 언어의 의미론(semantic)은 대상(object)이 아니라 구조(structure)라는 주장을 펼쳤다. 이에 따르면 쿼크의 의미는 어떤 입자가 아니라 원자의 행동을 예측하는 데 도입될 수 있는 수식이다.
따라서 Benacerraf의 논증은 집합론적 실재론을 반증하는 데에만 국한되는 것이 아니라, 환원주의 일반, 그리고 과학적 실재론에 대한 반박으로서 유효한 듯하다.