『아인슈타인이 괴델과 함께 걸을 때』 〈3부 7. 고등수학의 아바타들〉에서 다음과 같은 설명을 보았습니다.
“특히 괴델의 ‘불완전성 정리’는 힐베르트의 형식주의와 러셀, 화이트헤드의 논리주의에 치명적 타격을 가했다. …(중략)… 러셀, 화이트헤드가 내놓은 것과 같은 논리체계는 모든 수학적 진리를 결코 담아낼 수 없다.”
그런데 IEP의 russell:logic 문서 초반에서는, 불완전성 정리가 러셀이 이해한 논리주의와는 무관하다고 설명하는 것으로 보입니다. 제가 대충 알기로도 러셀의 논리주의가 실패로 평가되는 이유는, 괴델 정리 때문이라기보다는 러셀이 제시한 방식만으로는 산술의 원리를 충분히 포착하는 데 한계가 있었기 때문이라고 알고 있습니다. 즉, 불완전성 정리와는 큰 관련이 없는 것으로 이해해 왔습니다.
이 책의 저자가 오해하고 있는 걸까요? 아니면 제가 잘못 이해한 부분이 있는 걸까요? 알려주신다면 감사하겠습니다!
이 분야에 관해 잘은 모르지만 추측해보자면
러셀과 화이트헤드의 수학에 관한 논리주의는 괴델의 불완전성 정리에 의해 치명적 타격을 입었고, 그들의 다른 분야에 관한 논리주의는 괴델의 불완전성 정리와 큰 관련이 없는거 아닐까요?
보통 논리주의라 하면 수학철학에서만 한정된 관점으로만 알고 있어서 수학 외 분야에도 논리주의가 있는지는 모르겠네요.
그리고 수학분야에서도 러셀과 화이트헤드의 논리주의는 괴델 정리에 타격을 받았기보단 그들의 저서인 <수학원리>에서 도입된 환원 공리(axiom of reducibility)라는 개념이 문제가 되어 자연스럽게 논리주의가 쇠퇴한걸로 알고 있습니다.
아 그렇군요. 이 분야를 더 잘 아시는 분한테 물어보셔야겠네요.
저도 아는 건 없지만, 틀린 부분이 있다면 다른 분들께서 교정해 주시리라 믿고 추측해 보겠습니다.
우선 저도 산술의 불완전성보다는 SimpleLog님께서 말씀하신 환원 공리가 VCP로 추방한 impredicative definition을 사실상 도로 가져온다는 점, 그리고 무엇보다 해당 공리가 순수 논리학의 공리라고 보기 어렵다는 점이 논리주의가 쇠퇴한 이유 중 하나인 것으로 알고 있습니다.
이와는 별개로, 불완전성 정리가 논리주의에 타격을 가했다는 Jim Holt의 설명에는 어떤 이론 T가 모든 수학적 진리를 담아낼 수 없다는 점이 T에게 타격이 된다는 생각이 깔려 있는 것 같습니다. 그런데 이러한 생각을 깔고 보자면 논리주의가 불완전성 정리에 의해 타격을 입었다는 점은 당연한 소리 같습니다. 논리주의는 순수 논리학의 기반에서 (적어도) 기초 산술을 모델링하고자 했고, 기초 산술을 모델링할 수 있는 (consistent하고 effectively axiomatizable한) 모든 이론에는 불완전성 정리가 적용되니, Russell & Whitehead 프로그램 또한 (성공적이라면) 불완전성 정리가 적용되는 것은 당연한 귀결로 보이기 때문입니다.
그런데 논리주의의 목표는 단지 기초 산술을 논리학 안에서 모델링하는 것이지, 완전한 산술을 모델링하는 것은 아닙니다. 오히려 기초 산술 체계가 불완전하다면 불완전성까지 모델링해야 논리주의의 목표가 달성되었다고 봐야 할 것 같습니다. 이러한 점에서 Jim Holt의 설명에 깔려있는 생각이 정당한지는 의문입니다.
물론 헛다리 짚은 것일 수 있습니다! 다른 선생님들의 교정을 기다립니다.
(추가) 다시 생각해 보니, (적어도) 기초 산술의 모든 진리를 순수 논리학의 자원만으로부터 연역적으로 도출하는 것을 논리주의의 목표로 본다면, 불완전성 정리가 논리주의에 대한 타격이 될 수도 있을 것 같습니다.
본문에서 중략된 부분까지 포함시켜보면
"불완전성 정리에 의하면 -대략 말해서- 힐베르트의 수학적 '놀이'의 규칙들은 무모순이 결코 입증될 수 없으며 러셀, 화이트헤드가 내놓은 것과 같은 논리체계는 모든 수학적 진리를 결코 담아낼 수 없다.”
라고 되어있습니다.
저 설명에 따르면 힐베르트의 형식주의는 제 2 불완전성 정리 때문에 타격을 입었고 러셀, 화이트헤드의 논리주의는 제 1 불완전성 정리 때문에 타격을 입었다는 것 같습니다.
그런데 Bertrand Russell: Logic 문서를 보면 다음과 같이 설명합니다.
Russell’s own logics are tailored to his Logicism. Care must be taken in using the word ‘Logicism,’ however, since its advocates have had quite different agendas and quite different conceptions of what it entails. Carnap’s characterization presents Logicism as wedded to a deductive thesis according to which all the truths of mathematics can be derived as theorems from a consistent axiomatic foundation that captures all and only logical truths. This use of ‘Logicism’ can lead to confusion. This form of Logicism belongs neither to Frege’s nor to Russell’s conception. Though both held that a system of cp-Logic is consistently recursively axiomatizable, neither made it definitive of Logicism. Gödel showed that a consistent axiomatic calculus adequate to represent every recursive natural number theoretic function is negation incomplete. That is, for each such calculus there is a wff (well-formed formula) G such that neither G nor ~G is a theorem. Since either G or ~G is true in the standard model, the consistent axiomatic system must leave out a truth of arithmetic. But this is also irrelevant to Logicism as Frege and Russell understood it.
Let us put forth the following definition that altogether separates the deductive thesis from the Logicist thesis. Russell’s Logicism is expressed by this definition:
RLogicism =df pure mathematics is a branch of cp-Logic.
이 설명을 봤을 때, 제 1 불완전성 정리는 카르납이 정의한 논리주의한테 타격을 주지만 프레게와 러셀의 논리주의는 무관한 것 같습니다. 짐 홀트가 "괴델 정리는 논리주의에 타격을 줬다"라고만 설명했으면 의문이 없는데... 콕 집어서 제 1 정리가 '러셀'의 논리주의에 타격을 줬다하니 계속 거슬리네요. 일단은 짐 홀트의 설명이 최대한 말되게 하는 자료를 찾고 있긴한데, 찾으면 찾을수록 의문만 더 생기는...
어쩌면 짐 홀트가 오해한게 아니라 일반 사람들도 읽는 교양 에세이다 보니 조금 대충 설명한 것일 수도 있겠네요.