상대방이 내가 모르는 어떠한 주장을 펼쳤을 때,그 주장이 옳을 확률을 알 수 있을까?

질문
1

가령, 철수가 "명제 X는 옳다"라는 주장을 했다고 해봅시다

여기서 우리는 철수가 말하는 명제 X가 무엇인지 모르는 상태로,혹은 그 명제에 대해 판단할 만한 정보가 하나도 주어지지 않은 상태에서 그 명제가 옳을 확률을 알 수 있을까요?

"모른다"라고 답하시는 분들이 있으실텐데, 저는 50%확률로 맞다 라는 답변을 내놓고 싶어요

그 근거는,

1.옳은 주장과 틀린 주장은 일대일 대응으로 갯수가 같다

"명제 X는 옳다"라는 주장이 있다면 저희는 반대로 부정문으로 "명제 X는 틀렸다"라는 주장을 만들 수 있습니다

모든 주장은 부정문을 만들 수 있기 때문에 세상에 있는 옳은 주장의 갯수만큼 틀린 주장이 있습니다

(가령 "민수의 키는 173이다"는 옳은 주장이 있더라면 "민수의 키는 173이 아니다"라는 틀린 주장도 있을테고, "민수의 키는 183이다"라는 틀린 주장이 있더라면 "민수의 키는 183이 아니다"라는 옳은 주장도 있을테죠)

흰공 50개,검은공 50개를 넣은 호주머니에서 흰공을 뽑을 확률 50%와 마찬가지로 철수가 제시한 명제가 옳을 확률은 50%라는 답변을 내놓을 수 있는거죠

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어떤 주장 p에대해서 항상 ~p가 있으니까 일대일대응이고, 그래서 주장에 대히 어떠한 정보도 없을때는 확률을 모른다기보다는 50%라는 말씀이신가요?

논리학에대해 잘 모르니 다른건 차치하고서 보면...

'내일 비가 온다'는 말에 대해 '비가 오거나 안오거나 50%야' 라고 대답하는 것과 '모른다'고 대답하는게... 크게 다른지 모르겠어요.

3

모든 문장으로부터 그것의 부정문을 만들 수 있다.

로부터

참인 문장과 거짓인 문장은 일대일 대응한다.

가 따라 나오지 않습니다. 한 가지 반례를 들어볼게요.

2025년 4월 26일 모시각 모분 모초에 트럼프의 머리카락 개수가 n개라고 해보죠.
그렇다면 누군가가 "트럼프의 머리카락 개수는 n개이다"라고 말했다면 참인 진술이지만, n이 아닌 다른 임의의 수 k를 들어 "트럼프의 머리카락 개수는 k개이다"라고 말했다면 거짓인 진술입니다. 그럼 하나의 참인 진술과 무한히 많은 거짓 진술이 있겠지요.
이를 근거로 우리는 누군가가 트럼프의 머리카락 개수에 대해 정확한 수를 대는 진술을 한다면, 실제로 우린 트럼프의 머리카락 개수에 대한 증거가 전혀 없더라도 상당히 낮은 확률일 것이라고 추측할 수 있습니다.

물론 작성자분께서는 "'트럼프의 머리카락 개수는 n개다'는 참이다"라는 식으로 볼 수 있는 것 아니냐고 반문하실 수도 있습니다만, 모든 주장이 언제나 저런 형식을 띨 필요는 없습니다.
또, 모호한 진술의 경우 역시 저런 일대일 대응이 성립한다는 주장을 일반화하기 어렵고요.

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베르트랑의 패러독스에 대해서 조사해보시면 좋으실 것 같습니다. 그리고 관심 있으시면 확률의 해석에 대해서도 고민해보시면 좋을 것 같습니다. 간단하게는 주관적 베이즈주의랑 빈도주의를 비교해보실 것을 제안드립니다.

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트럼프 머리카락 개수는 n개다에 대한 정확한 형식화는 잘 모르겠지만 존재 양화 문장으로치면, 트럼프 머리카락 개수는 n개다의 부정 문장이 트럼프 머리카락 개수는 (n이 아닌)k개다 가 아닐 수도 있지 않지 않을까요? 물론 트럼프 머리카락 개수에 대한 저 문장이 수를 양화하는 문장이라는게 정당화가 우선이겠지만요.

6

제 답변은 부정 문장과 거짓인 문장의 차이를 짚어드리고자 한 의도였습니다. 제가 사례를 든 건 구체적인 수가 주어진 경우였어요. 예를 들면

(H) 트럼프의 머리카락 개수는 10,000개 이다.

같은 주장인 거죠. 의도했던 바는 이게 참이라 하더라도 여기엔 10,000 대신 들어갈 수 있는 수만큼 거짓인 진술이 있다는 것이었습니다.

(H)의 부정문은

(~H) 트럼프의 머리카락 개수는 10,000개가 아니다.

이고, (H)가 참이면 (~H)는 당연히 거짓이겠지만 그것으로부터 정확히 참인 문장과 거짓인 문장이 동수로 존재한다는 게 따라 나오지 않는다는 것을 말씀드리고자 했어요.
(정신이 좀 산만한 중에 잠깐 들어왔다 쓴 거라 답변 중에 제가 좀 부정확하게 쓴 게 있을 수도 있습니다 ㅠㅠ)

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이것은 무차별 원리(Principle of indifference)를 적용시킨 예시로 보입니다.

다만, 일대일 대응으로 개수가 같다고 해서 확률을 이야기하는 것이 문제가 있는 게.... 참과 거짓이 일대일 대응이 된다고 해서, 그 둘의 확률을 같게 배정하는 것을 정당화할 수 있느냐가 문제입니다. 그것 잘못했다가는 Bertrand paradox (probability) - Wikipedia 같은 문제가 생길 수 있으니까요.
그리고, 확률의 균등한 분포(uniform distribution)를 모순 없이 정의할 수 없는 경우가 생길 수 있습니다. 예를 들면,

이런 것이 있겠네요. 모든 자연수에 짝수를 일대일로 대응시킬 수 있지만, 그 둘의 확률을 같다고 하면 바로 모순이 튀어나옵니다. 애초에 확률의 균등한 분포를 수학적으로 정의하기가 어려워서 그렇습니다.

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명제가 무엇이냐에 따라 다릅니다.

1+1=2라는 간단한 사실을 수식을 복잡하게 꼬아서 명제를 지정했을 때, 해당 수식을 보고 1+1=2는 유추할 수 없을 것입니다. 그러나 그 수식에서 보이는 숫자와 아는 부호등을 보며 나름의 예측을 통해 맞다, 틀리다 혹은 모른다를 택하게 됩니다. 이의 경우엔 정확히 50:50이라고 볼 수 없죠.

"모래더미를 정의하는 모래알 개수는 x개다" 라고 했을 때 그 x개가 맞다 아니다 또한 50:50으로 성립하지 않죠. 모래더미를 정의하는 모래알 개수는 없습니다. 주관의 영역이기 때문이나, 분명히 모래알과 모래더미의 모래알 개수의 차이 또한 존재하는 것이 사실이기 때문이죠. 높은 확률로 틀렸다에 근접하다는 것을 유추할 수 있습니다.

세 번째 또한 머리카락을 예시로 들려고 했으나 이미 @Raccoon 님께서 언급해주셨네요.

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사정이 있어 2개월 뒤에 답변을 드리게 되었네요

잘 이해가 가지 않는 것이

(H)에서 10,000 대신 들어갈 수 있는 수만큼 거짓인 진술이 있는 만큼 (~H)도 10,000대신 들어갈 수 있는 수 만큼 진실인 진술이 있는 것 아닌가요?

그리고 진실과 거짓의 가짓수는 동일할테고요

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숫자나 아는 부호등 힌트조차 없을 때를 말한거였습니다

"모래더미를 정의하는 모래알 개수는 x개다"는 제가 말한 "명제 x는 옳다" 형식이 아닌 것같습니다

"명제 x는 옳다" 형식으로 바꾼다면
""모래더미를 정의하는 모래알 개수는 x개다"는 옳다" 형식으로 바뀌어야하긴 할 것같습니다

또,주관의 영역이라고 해주셨는데
주관에도 각자만의 정답은 있지 않나요?

저 역시도 처음에는 "철수는 착하다"라는 명제가 주관의 영역이기에 50:50으로 구분될 수는 없겠다라고 생각하였지만

또 다시 생각해보니 구분될 수 있을 것같습니다

왜냐하면 위의 문장은 "어떤 사람에게 철수는 착하다"라는 문장과 동일해보이며,
"어떤 사람에게 철수는 착하다" 라는 문장은 참이거나 거짓일 수 있는 더이상 주관의 영역의 명제가 아니기 때문입니다

모래알 명제를 위의 예시로써 바꾼다면
"어떤 이가 모래더미를 정의하는 모래알 개수는 x개다"는 옳다"가 되겠네요

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찾아보았습니다
무한대의 영역에서 일대잉 대응의 갯수가 같다고 해서 둘의 확률을 같게 배정하는 것이 반드시 정당화가 될 수는 없다는 것은 알겠습니다

그렇다면
메타적으로 접근해서
"일대일 대응의 갯수가 같을 때 둘의 확률을 같게 배정하는 것은 정당화가 될 수 있다"라는 명제에 50:50을 적용하면 어떨까요?

위의 명제는 무한대가 되지 않기 때문에 50:50이 성립할 것입니다

그렇다면 1/2 x1/2가 되어서 명제의 참 거짓에 각각 25%의 값을 나누어 가지지 않을까요?

그러니까 명제 x가 무한대의 영역일때 명제 x가 옳을 확률 25% 명제 x가 틀릴 확률 25% 나머지 50%는 모른다로 볼 수 있지 않을까요?

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저도 실질적으로는 쓸모 없다고 생각해

단순히 의견 차이가 생기는걸 보고 주장을 내세워본겁니다

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무차별 원리의 정당화 문제는 무한대의 영역이든, 그렇지 않든 문제가 될 수 있습니다. 존 메이너드 케인스(John Maynard Keynes)의 『확률론』(A Treatise on Probability, 1921)에 나오는 예시를 들겠습니다.

'이 책은 빨간색이다'라는 명제를 생각해 봅시다. 우리가 이 책에 대해 '책'이라는 사실 외에 아무런 정보가 없다면, 무차별 원리에 따르면 이 명제가 참일 확률은 1/2이 됩니다.

그런데 여기서 문제가 발생합니다. 만약 우리가 '이 책은 검은색이다'와 '이 책은 파란색이다'라는 명제도 고려한다면 어떻게 될까요? 이 두 명제에 대해서도 책의 색깔에 대한 외부 정보가 없으므로, 무차별 원칙을 적용하면 각각의 확률도 1/2이 됩니다.

자, 이제 이 세 가지 명제를 함께 보면, 다음과 같은 모순에 빠집니다.

  • '이 책은 빨간색이다' (확률 1/2)
  • '이 책은 검은색이다' (확률 1/2)
  • '이 책은 파란색이다' (확률 1/2)

이 세 가지는 동시에 일어날 수 없는 배타적인 사건(exclusive alternatives)입니다. 하지만 이 세 사건의 확률을 모두 더하면 1.5가 됩니다. 확률의 총합은 1을 넘을 수 없으므로, 이는 불가능한 상황입니다.

이것은 1921년에 나온 논의로 그 이후로 무차별 원리를 더 정밀하게 하려는 노력이 있었습니다. 그러나 무엇이 실제로 원리를 잘 적용하는 것인지, 이 원리가 구체적으로 무엇인지 철학적으로 해명하는 것은 간단하지 않아 보입니다.

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'이 책은 빨간색이다' (확률 1/2)
'이 책은 검은색이다' (확률 1/2)
'이 책은 파란색이다' (확률 1/2)

무차별 원리는 하나의 명제를 대상으로,그 대상의 참 거짓을 가지고 판단해야하는거 아닌가요?

"이 책은 파란색이거나 빨간색이거나 검은색이다"로 명제를 만든다면 "이 책은 파란색이 아니고 빨간색이 아니며 검은색도 아니다"가 부정문이 될테고 문제가 없어보입니다

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님께서

에서 X의 예시로
"이 책은 빨간색이다", "이 책은 검은색이다", "이 책은 파란색이다"의 예시를 든 것입니다.

지금 책에 대한 정보가 없다고 가정하고, 님의 논리를 적용하면 "이 책은 빨간색이다", "이 책은 빨간색이 아니다", "이 책은 검은색이다", "이 책은 검은색이 아니다", "이 책은 파란색이다", "이 책은 파란색이 아니다" 모두 확률이 1/2이 되죠. 그리고 이것은 확률론적으로 모순을 일으킨다는 소리입니다.

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명제가 두개 이상이 있다는 것 자체가 메타적으로 또 하나의 정보가 되는게 아닐까요?

무차별 원리를 제대로 해석하려면 명제를 합치거나 해서 두개를 같이 놓고 보아야할 것같습니다

위의 예시에서는
""이 책은 파란색이거나 빨간색이거나 검은색이다"는 옳다" 라는 명제로써요

명제가 두개 이상 있을 경우에는 "명제 x나 y나 z는 옳다"로 통합시켜서 해석해야한다는거죠

저 위의 명제가 거짓일때는 3가지 색이 같이 1/2확률로 거짓이 되는 것이 맞는데,참일 경우에는 또 다시 그 중 3가지 색의 경우로 나뉘어서 1/3이 되지 1/2로 안떨어지네요....

사실 "이 책은 색이 있다" 라는 명제를 만든다고 쳤을때, 그 색중에는 빨간색, 검은색 파란 색 등등 많은 가능성이 있을텐데
"이 책은 파란 색이거나 검은색이거나 빨간색••••(모든 색을 다 말하고선)이다"라는 식으로 쭉 이어나간 문장이나 "이 책은 색이 있다"라는 문장이나 같은 의미일텐데..... 묘하네요
"이 책은 색이 있다"라는 명제 자체는 무차별 원리를 쓸 수 있는거잖아요?....

반면에 "이 책은 파란 색이거나 검은색이거나 빨간색••••(모든 색을 다 말하고선)이다"는 "이 책은 색이 있다"와 같은 의미임에도 이상하게 딱 1/2로 안떨어지죠