상대방이 내가 모르는 어떠한 주장을 펼쳤을 때,그 주장이 옳을 확률을 알 수 있을까?

질문
1

가령, 철수가 "명제 X는 옳다"라는 주장을 했다고 해봅시다

여기서 우리는 철수가 말하는 명제 X가 무엇인지 모르는 상태로,혹은 그 명제에 대해 판단할 만한 정보가 하나도 주어지지 않은 상태에서 그 명제가 옳을 확률을 알 수 있을까요?

"모른다"라고 답하시는 분들이 있으실텐데, 저는 50%확률로 맞다 라는 답변을 내놓고 싶어요

그 근거는,

1.옳은 주장과 틀린 주장은 일대일 대응으로 갯수가 같다

"명제 X는 옳다"라는 주장이 있다면 저희는 반대로 부정문으로 "명제 X는 틀렸다"라는 주장을 만들 수 있습니다

모든 주장은 부정문을 만들 수 있기 때문에 세상에 있는 옳은 주장의 갯수만큼 틀린 주장이 있습니다

(가령 "민수의 키는 173이다"는 옳은 주장이 있더라면 "민수의 키는 173이 아니다"라는 틀린 주장도 있을테고, "민수의 키는 183이다"라는 틀린 주장이 있더라면 "민수의 키는 183이 아니다"라는 옳은 주장도 있을테죠)

흰공 50개,검은공 50개를 넣은 호주머니에서 흰공을 뽑을 확률 50%와 마찬가지로 철수가 제시한 명제가 옳을 확률은 50%라는 답변을 내놓을 수 있는거죠

2

어떤 주장 p에대해서 항상 ~p가 있으니까 일대일대응이고, 그래서 주장에 대히 어떠한 정보도 없을때는 확률을 모른다기보다는 50%라는 말씀이신가요?

논리학에대해 잘 모르니 다른건 차치하고서 보면...

'내일 비가 온다'는 말에 대해 '비가 오거나 안오거나 50%야' 라고 대답하는 것과 '모른다'고 대답하는게... 크게 다른지 모르겠어요.

3

모든 문장으로부터 그것의 부정문을 만들 수 있다.

로부터

참인 문장과 거짓인 문장은 일대일 대응한다.

가 따라 나오지 않습니다. 한 가지 반례를 들어볼게요.

2025년 4월 26일 모시각 모분 모초에 트럼프의 머리카락 개수가 n개라고 해보죠.
그렇다면 누군가가 "트럼프의 머리카락 개수는 n개이다"라고 말했다면 참인 진술이지만, n이 아닌 다른 임의의 수 k를 들어 "트럼프의 머리카락 개수는 k개이다"라고 말했다면 거짓인 진술입니다. 그럼 하나의 참인 진술과 무한히 많은 거짓 진술이 있겠지요.
이를 근거로 우리는 누군가가 트럼프의 머리카락 개수에 대해 정확한 수를 대는 진술을 한다면, 실제로 우린 트럼프의 머리카락 개수에 대한 증거가 전혀 없더라도 상당히 낮은 확률일 것이라고 추측할 수 있습니다.

물론 작성자분께서는 "'트럼프의 머리카락 개수는 n개다'는 참이다"라는 식으로 볼 수 있는 것 아니냐고 반문하실 수도 있습니다만, 모든 주장이 언제나 저런 형식을 띨 필요는 없습니다.
또, 모호한 진술의 경우 역시 저런 일대일 대응이 성립한다는 주장을 일반화하기 어렵고요.

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베르트랑의 패러독스에 대해서 조사해보시면 좋으실 것 같습니다. 그리고 관심 있으시면 확률의 해석에 대해서도 고민해보시면 좋을 것 같습니다. 간단하게는 주관적 베이즈주의랑 빈도주의를 비교해보실 것을 제안드립니다.

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트럼프 머리카락 개수는 n개다에 대한 정확한 형식화는 잘 모르겠지만 존재 양화 문장으로치면, 트럼프 머리카락 개수는 n개다의 부정 문장이 트럼프 머리카락 개수는 (n이 아닌)k개다 가 아닐 수도 있지 않지 않을까요? 물론 트럼프 머리카락 개수에 대한 저 문장이 수를 양화하는 문장이라는게 정당화가 우선이겠지만요.

6

제 답변은 부정 문장과 거짓인 문장의 차이를 짚어드리고자 한 의도였습니다. 제가 사례를 든 건 구체적인 수가 주어진 경우였어요. 예를 들면

(H) 트럼프의 머리카락 개수는 10,000개 이다.

같은 주장인 거죠. 의도했던 바는 이게 참이라 하더라도 여기엔 10,000 대신 들어갈 수 있는 수만큼 거짓인 진술이 있다는 것이었습니다.

(H)의 부정문은

(~H) 트럼프의 머리카락 개수는 10,000개가 아니다.

이고, (H)가 참이면 (~H)는 당연히 거짓이겠지만 그것으로부터 정확히 참인 문장과 거짓인 문장이 동수로 존재한다는 게 따라 나오지 않는다는 것을 말씀드리고자 했어요.
(정신이 좀 산만한 중에 잠깐 들어왔다 쓴 거라 답변 중에 제가 좀 부정확하게 쓴 게 있을 수도 있습니다 ㅠㅠ)

7

이것은 무차별 원리(Principle of indifference)를 적용시킨 예시로 보입니다.

다만, 일대일 대응으로 개수가 같다고 해서 확률을 이야기하는 것이 문제가 있는 게.... 참과 거짓이 일대일 대응이 된다고 해서, 그 둘의 확률을 같게 배정하는 것을 정당화할 수 있느냐가 문제입니다. 그것 잘못했다가는 Bertrand paradox (probability) - Wikipedia 같은 문제가 생길 수 있으니까요.
그리고, 확률의 균등한 분포(uniform distribution)를 모순 없이 정의할 수 없는 경우가 생길 수 있습니다. 예를 들면,

이런 것이 있겠네요. 모든 자연수에 짝수를 일대일로 대응시킬 수 있지만, 그 둘의 확률을 같다고 하면 바로 모순이 튀어나옵니다. 애초에 확률의 균등한 분포를 수학적으로 정의하기가 어려워서 그렇습니다.

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