Rod girle의 Modal logics and Philosophy입니다.
첫 번째 사진은 제 풀이인데요 문제가 되는 부분은 8번에서 9를 통해 12로 가는 과정입니다. 교재에 제시된 □RS2 규칙을 활용할 수 있다고 생각해서 풀었는데 세 번째 사진인 답지에는 그렇게 풀지 않았더라구요. k나 l이 sub-normal world여도 8번의 □p에 kAl을 통해 □RS2 규칙을 사용하지 못할 이유가 있나요?
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양상논리 증명 체계는 교재마다 많이 달라서, 이렇게 문제만 간단히 올려주시면 답변 드리기가 어려울 것 같습니다. (저도 처음 보는 증명 방식인 것 같고, S2, S3 체계의 공리는 낯서네요)
증명하려는 건 아마도 S2 체계에서 "□□p⊃□□(q⊃p)"가 정리인가 하는 거겠죠?
S2 공리와 증명 체계에 대해서 명시를 해주셔야 파악할 수 있을 것 같습니다.
이런 스타일에 익숙하신 분이 계시면 바로 답변 해주실 것 같네요 ㅎㅎ
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저도 양상 논리에서의 tree-proof에 대해서는 잘 알지 못합니다만, 두 증명이 그다지 차이나 보이지 않습니다. 편의상 ☐p를 반복해서 쓴 뒤 p in l을 도출할 때 사용한 것으로 보이고, 두 증명은 꼭 같은 방식만을 사용한 증명 같네요.
아 반복되지 않고 ☐p in l이 도출되어 있군요? 이유를 모르겠네요. 작성자님 풀이로도 충분해 보입니다.
저도 양상논리에 대해 아는 바가 적어서 질문도 명확하지 못했네요ㅠ
문제의 요지는 S0.5, S2, S3 체계 중 에서 주어진 식은 어떤 체계 아래에서 타당하고, S0.5, S2, S3 순으로 체계는 강해지는데 그 중 어떤 체계에서 타당성이 성립하는지 찾는 겁니다.
예컨대 제가 문제로 질문한 □□p⊃□□(q⊃p)는 답지에 따르면 S2와 S0.5체계에서는 타당하지 않지만 S3는 타당하다고 말하고 있습니다. 그리고 증명의 방식은 jeffrey's tree를 통한 타당성 검증입니다.
꽤 여러번 생각해봐도 제 풀이에서 큰 오류를 못찾겠는데, 제 풀이에서는 S2에서 타당하지만 풀이는 S3에서 타당하다고 나와있어서요. 문제의 의도는 S2보다 강한 체계인 S3에서 성립함을 보이라는 것 같은데 S2체계 내에서 이미 타당성이 검증돼서 문제가 잘못됐는지 제 풀이가 잘못됐는지 알기 어렵네요...
이게 원래 문제였습니다. 양상 논리 교재별로 공리나 증명방식이 상이하다는 점을 잘 모르고 무턱대고 질문했네요... 혹여나 Rod Girle의 교재에 익숙하신 분께서 알려주시면 참 감사하겠습니다...!
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S0.5 S2 S3 모두 non-normal modal logic로 소개된 체계입니다. 교재에서 N은 Normal world로 S는 sub-normal world로 나타내고 있습니다. 배경 설명이 부족해서 약간이라도 추가해봅니다.
아! 이해했습니다. 아마 ◇RN-rule이 전환되는 세계가 subnormal world인 걸 보장하지 않는 모양이네요. 규칙들을 다시 잘 살펴보시면 좋겠습니다.
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증명의 5번 줄을 다시 보시면 됩니다.
자꾸 빠뜨린 부분이 있어서 죄송합니다. ◇RN rule은 Normal world n에 있는 ◇p에서 non-normal world인 k로의 acess도 가능하게 해주면서 p를 k에 있게할 수 있다는 걸로 이해되거든요. 그래서 결국 ◇RN rule은 전환되는 world가 non-normal(sub normal)이라는 것을 보장한다고 여겨지네요.
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먼저 친절하게 설명해주셔서 감사합니다! 그런데 게시글에 처음으로 첨부된 사진의 증명 5번을 보면 저는 ◇RN rule을 통해 Sub-normal world인 k를 생성시켰습니다. 그리고 제 증명의 13번에서 쓰인 □RS2 rule 역시 sub-normal world에 있는 formula를 활용하는 규칙이구요. 그래서 georgia님이 마지막 문단에 써주신 내용을 이해하기 어렵습니다.
이렇다면… 이유를 알기 어렵습니다. 혹시 교재에 대한 correction이 인터넷에 없는지 찾아보셔요.
다들 답변주셔서 감사합니다. 결국 교재의 설명이 부족하거나 틀렸던 것이겠군요...