기초논리학 과정에서… 토톨로지랑 논리적 필연성 구별이 헷갈립니다. 토톨로지는 연산자 구조에 의한 필연성, 논리적 필연성은 연산자와 동일성 술어에 의해 필연적이라 논리적 필연성 안에 토톨로지가 있는 건가요?
토톨로지이면서 논리적 필연성인 것, 토톨로지는 아니지만 논리적 필연성인 것 구별이 너무 헷갈리는데 혹시 구별하는 방법/명확한 기준이 있을까요? 조언 부탁드립니다.
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제가 아는 한 'tautology'는 진리함수적 연결사의 의미 때문에 필연적으로 참이 되는 명제를 특별히 부르는 말입니다. 논리적으로 필연적인 명제 중에 토톨로지가 있는 것이구요.
'(x)(Fx v ~Fx)' 이런 명제는 토톨로지가 아닌 논리적으로 필연적인 명제라고 할 수 있겠습니다.
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감사합니다 선생님! 그럼 혹시
a=a같은 자기동일성 문장이나
a=b ^ b=b는 토톨로지가 아닌 논리적 필연성에 해당하는 게 맞을까요?
넵 저는 그렇게 알고 있습니다ㅎㅎ
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라쿤님이 잘 답해주셨어서 잡담(?) 좀 납깁니다.
토톨로지와 논리적 참을 구별하는 이유를 생각을 해 보았습니다. 사실 둘이 아주 엄밀히 구별되는 건 아닌 것 같아요. 다만 교과서에서 실용적 이유로 둘을 구별하는 정도가 아닌가 싶습니다.
(그래서 찾아보니, 역시 엔더튼, 클린 등의 소행이었습니다: 위키피디아 항목[링크])
뭐가 그렇게 실용적인가, 하자면 재귀적으로 증명 체계를 정의할 때 실용적이게 됩니다. 일차 논리의 공리를 정의할 때 통상 (1) 모든 토톨로지들; (2) …; 같이 목록이 시작되는데, ‘토톨로지’를 ‘PL-참인 문장꼴의 예시들’같이 정의하지 않았으면 좀 곤란했을 겁니다.
왜 곤란한고, 하니 FOL의 의미론적 장치들만으로는 토톨로지를 구별할 수 없어서 그런 것 같습니다. 무슨 “‘⊨ 𝜑’이면서 ∀이 등장하지 않는 문장의 사례들”(이 정의가 토톨로지의 포착에 실패함은 차치하고서라도) 같은 걸 공리에 넣을 순 없으니까요.
그렇다고 뭔가를 막 구구절절 하기도 그렇죠. 일단 PL에서의 방법으로 토톨로지를 정의할 수는 없습니다. FOL에는 문장에 대한 해석이라는 게 없으니까요. 그렇다고 모든 원자문장 및 양화된 원자문장들을 사용해 ‘이런 경우들’같이 리스트를 다는 건… 좀 짜치죠.
그래서 차라리 토톨로지를 공리에 안 넣고 PL-공리들을 FOL-공리에 욱여넣은 경우도 봤습니다 (링크). 다만 이러면 완전성 정리 때 일이 귀찮아지지 않을까 싶었습니다. 직접 해 볼 생각은 안 들어서… 그냥 생각만 하겠습니다.
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