오랫동안 책장에 묵혀뒀던 기호논리학을 이제 폈습니다.
서장에 ‘필연적으로 참인 문장은 모든 전제 집합의 귀결이며, 모든 전제 집합의 귀결인 어떠한 문장도 필연적으로 참이다.’라고 나와있는데 ‘모든 전제 집합’의 의미를 모르겠어서 이해가 안 됩니다. 한 논증 안에서의 모든 전제의 집합이라고 받아들이면 되나요?
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어떠한 명제 집합에 대해서도 그 귀결로 필연적 명제가 도출될 수 있다는 말입니다. Imp(𝚪,q)를 통해 “전제집합 𝚪가 ‘q’를 함축한다”를 의미하고 Sx를 통해 ‘x가 문장 집합이다’를 의미하자면, ∀x(Sx ⊃ Imp(x, q))를 만족하는 q는 필연적으로 참이라는 (또한 그 역이 성립한다는) 것이죠.
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오랫동안 책장에 묵혀뒀던
이라고 쓰셔서.. car_nap님이 깔끔하게 답해주셨지만 풀어서 한 번 더 말씀드리겠습니다.
논증에는 하나 이상의 전제와 하나의 결론이 있습니다.
각각은 모두 문장이지요. 전제에 해당하는 문장들을 묶은 집합을 Γ로 두면 결론 q에 대해서
q는 Γ로부터의 귀결이다 ⇔ Γ에 속하는 문장이 모두 참이면 q는 반드시 참이다. (혹은, Γ에 속하는 문장이 모두 참이면서 q가 거짓인 경우는 없다.)
라고 쓸 수 있습니다. (※참고사항 아래)
그런데 필연적으로 참인 명제는 그 말 그대로 언제나 참이고, 거짓인 경우가 없습니다.
따라서, Γ에 어떤 명제가 들어가더라도 q는 언제나 참일 테니
당연히 Γ에 속하는 명제가 모두 참이면서 q가 거짓인 경우는 없겠지요?
그렇다면 q는 Γ로부터의 귀결이라고 할 수 있습니다.
그러니 q가 필연적 명제라면 아무런 전제 집합을 가져와도 그것으로부터의 귀결이라고 할 수 있는 것이지요.
※ 참고사항
정확히 말하면 '의미론적 귀결'이라고 써야 할 것이고, 정확히 기억은 안나지만 벤슨 메이츠식으로 귀결 정의를 쓰면 다음과 같이 될 겁니다.
q는 Γ로부터의 (의미론적) 귀결이다 ⇔ 임의의 해석 하에서 Γ에 속하는 문장이 모두 참이면 q는 반드시 참이다. (혹은, Γ에 속하는 문장에 모두 참값을 부여하면서 q에 거짓을 부여하는 해석은 존재하지 않는다.)
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감사합니다. 확실히 기호로 쓰니까 간단하네요.
친절하게 알려주셔서 정말 감사합니다.