시험공부하다가 나름 재밌는 공상이 떠올라 블로그에도 적었지만, 나름 의견을 나누고 싶어 여기도 옮겨 봅니다. 혹여 떠오르는 의견이 있으시다면, 터무니 없는 것이라도 좋으니 같이 나누면, 많은 도움이 될 것 같습니다.
시험 기간에 위상수학을 공부하다 꽤 흥미로운 생각이 나타났다.
위상 수학에서의 어떤 set이 complete하다는 것은 집합과 metric, 즉 거리함수 d가 우선 주어져야 한다.
거리함수의 정의는 다음을 만족하는 함수이다.
d: XxX -> X is satisfying follows :
-
d(x,y)≥0 ∀x in X, d(x,y)=0 if x=y
-
d(x,y)=d(y,x)
-
d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)
집합 X에 대한 거리함수 d가 정의됨으로써 metric 공간 (X,d)가 정의되면, 코시 열을 통해 complete개념을 정의할 수 있는데, 코시열과 completeness의 정의는 다음과 같다.
Cauchy sequence
"A sequence {x_n} is cauchy sequence if ∀e>0, ∃k in N s.t. d(x_n,x_m)<e ∀m,n ≥k"
즉, 어떤 열이 존재할 때, 이 열에 대해 다음을 만족하는 충분히 큰 자연수 k를 선택할 수 있으면, 열에 대한 집합{x_n}은 코시 수열 set이라 한다.
이는 주어진 작은 값 e가 주어질 때 마다, 해당 열의 k번 째 이후, 모든 값들에 대하여 거리함수의 값이 e보다 작은 그러한 k를 우리가 잡을 수 있다면 해당 열을 코시열이라 부르자는 것이다.
completeness
"A metric space (X,d) is complete if every cauchy sequence {x_n} is convergent to x in X"
즉, 메트릭 공간에 존재하는 모든 코시 열들이 다시 그 공간안의 어떤 원소로 수렴하면, 메트릭 공간이 complete하다는 것이다. 그런데 모든 수렴하는 수열은 코시열이 된다. 따라서 모든 수렴하는 수열이 그 공간 내 원소로 수렴하게 되면, 그 공간은 complete하다.
이제 다음 논리학에서의 completeness 개념을 살펴보자.
completeness
"φ ⊨ β이면, φ ⊢ β"
이는 적형식(well-formed-fomule, 이하 wff) 집합 φ가 참인 하에서 β가 참이면, φ에서 β를 연역할 수 있음을 의미한다. 즉, φ의 원소들로 β에 대한 증명을 구성할 수 있다는 것이다.
이는, φ ⊨ β하에서, 문장 b1,...,bn, β의 나열이 존재하고, 이는 문장 β가 결론으로 연역되는 어떠한 문장 bk들의 sequence가 존재한다는 것을 의미한다.
이 때, 문장 bk들은 φ의 원소일 수도 있으며, 공리일 수도 있다.
그렇다면 이 때, 그러한 문장들의 나열을 하나의 {bk}_{k=1,...,n }인 sequence가 존재하는 것으로 간주하고, B에 대한 증명을 bk들이 순서대로 나열되는 것으로써 결론 B로 문장들의 sequence가 수렴하는 것으로 간주해보자.
즉, B가 증명되는 것이 문장 bk들이 B로 수렴되는 것으로 간주하자는 것이다. 만일 임의의 wff B 대한 증명을 증명 문장들이 결론으로 수렴하는 것으로 볼 수 있다면, complete와 관련된 위상수학의 정리들을 이쪽에서도 적용시킬 수 있지 않을까 하는 것이 목적인 것이다.
그러나 이것이 가능하려면 몇 가지 걸림돌이 존재한다.
- 완전성에 대한 정의가 변경되는 것이므로 건전성의 정의도 변경되어야 한다.
그러나 이는 만일 명제에 대한 증명이 수열의 수렴과 비슷한 것으로 간주할 수 있으면, 이에 맞는 새로운 정의가 탄생할 수도 있으므로, 이러한 이유 자체는 증명의 진행을 수열의 수렴과 같은 것으로 간주하자는 의견에 반대할 이유가 되지 못한다.
- 위상에서의 완전성은 metric 공간에서 존재하는 것이므로, 증명을 수열의 수렴처럼 보기 위해선 명제 공간에 대한 metric이 존재해야한다.
이는 명제 공간 내에서 거리함수를 어떻게 정의할 수 있느냐의 문제로 이해할 수 있다. 그렇다면 명제간의 거리를 어떻게 정의할 수 있을까? 명제간의 거리를 생각해본다면, 들어본 적이 없는 개념이기 때문에 생소할 수 있을 것 같다.
그러나 명제 p와 명제 p의 거리는 0이라 한다면, 이는 우리의 직관에 전혀 어긋나지 않는 것처럼 보인다. 이로 비추어 봤을 때 우선 처음 든 생각은 명제 p와 명제 q의 연산자 갯수 차이를 거리로 둘 수 있지 않을까 싶었다.
그러나 그 경우 p와 p&p&...&p의 거리는 무한히 커질 수 있지만 p와 p&p&...&p는 같은 문장이기에 이는 적합한 거리함수로 볼 수 없을 것처럼 보인다.
그렇다면 이 후 두번째 든 생각은 명제간 의미가 유사한 것을 명제간 거리로 정의한다면 어떨까 싶다. 유사함에 대한 기준을 정하는 것이 문제가 되는 것이지만, 만일 정할 수 있다면, 나름의 거리함수라 할 수 있을 것처럼 보인다. 그러나 논리학의 관심사는 명제의 의미가 아니기 때문에 이는 이러한 거리함수의 정의를 포기하거나, 아니면 의미를 다루는 논리학이 필요하다는 것으로 이어지게 된다.
또 다른 기준을 생각해본다면, 명제간의 거리함수에 대한 직접적인 정의는 아니지만, 이는 명제함수간 거리가 정의 되었을 때, 명제간의 거리는 다음과 같은 특성을 보여야 하지 않을까 하는 생각이다.
어떤 명제가 존재하고, 그 명제에 대한 증명이 존재하면, 직관적으로 명제에 대한 증명이 진행될 수록, 증명에서 진행되는 문장들이 결론의 모습과 닮아야 할 것처럼 보이며, 이는 뭔가 자연스러워 보인다.
따라서 b1,...,bn,β에 대한 증명이 존재할 때, B와 bn의 거리는 B와 bk (k<n)의 거리보다 가까운 것처럼 여길 수 있을 것 같다. 그러나 이 경우 역시 난점이 존재한다.
B에 대한 증명절차 b1,...,bn,B이 존재하고, 이 증명절차를 귀류법으로 증명한 또 다른 증명절차 a1,...,an,B를 생각해보자. 이때, 귀류법은 b1이면 B를 증명하기 위해, 결론인 B를 부정하여 미리 전제된 b1이 거짓임을 보이는 것이다. 따라서 b1,...,bn,B이 순차적인 증명절차라면, 결국 귀류법의 증명에선, an=~b1이 되어야 한다.
그러나 b1,...,bn,B이 B에 대한 순차적인 증명 절차라면, ~b1에서 B를 절대로 연역할 수 없기 때문에 an과 B 사이의 거리가 무엇보다도 멀어 보인다. 따라서 증명 순서에서 거리를 알 수 있지 않을까 하는 추측도 해결해야할 문제가 존재하게 된다.
명제간 거리를 직접적으로 당장에 정의하긴 어려우니, 만일 어떠한 정의로 인해 명제간 metric 공간이 정의 되었다고 한다면, 그러한 공간은 어떠한 모습인가에 대해 생각해보자.
우선 증명은 유한해야 하기 때문에 명제 공간에 수렴하는 sequence들은 cardinal이 유한인 sequence만 존재해야 할 것처럼 보인다. 그러나 φ ⊢ β라면, φUA ⊢ β이며, 이 때, A는 어떠한 집합이여도 상관없기 때문에 명제의 수렴이 반드시 유한한 sequence일 필요는 없어 보인다.
하지만 명제의 sequence가 유한할 필요는 없으나, B에 대한 증명 문장들의 나열 사이 전혀 관계없는 a가 삽입이 된다면, 이는 올바른 증명 절차가 아니게 되므로, 증명 sequence의 나열에는 어떠한 제약이 필요할 듯 보인다. 그러나 이는 어떤 수렴하는 수열에서도 마찬가지이기에 명제의 수렴이란 개념이 상정되어 생기는 난점은 아닌 듯 보인다.
여기서 한 가지 발견할 수 있는 것은 증명은 분명 순차적으로 유한히 진행되는 문장의 나열이기 때문에 거리를 상정할 수 있게 된다면, 분명 명제공간은 dense하진 않아 보인다.
왜냐하면 명제의 수렴을 수열의 수렴처럼 보기 위해선 ,이는 증명을 구성하는 증명 문장들로부터 결론 문장까지 가는 문장간의 길이가 점점 짧아지는 것을 만족하거나, 이에 준하는 양상을 보여야 할텐데, 만일 명제 공간이 dense하다면, b1,...bk,bk+1,bn,B 의 증명에서 bk,와 bk+1거리 보다 좁은 거리를 얼마든지 상정할 수 있게 되기 때문이다.
즉, bk,와 bk+1사이 존재하는 명제를 우린 얼마든지 발견할 수 있게 되고 그렇다면 증명 절차가 무한하게 되기 때문이다.
따라서 명제 공간의 metric을 완전히 정의할 순 없지만, 몇가지 조건은 만족해야 할 것처럼 보인다.
-
명제공간이 metric space가 되기 위해선, 명제는 자기 자신과의 거리가 0이 될 것.
-
명제 공간이 dense하진 않을 것.
그렇다면 명제의 공간은 discrete 한 공간인가 하는 의문이 드는데, discrete 공간은 거리함수가 다음과 같다.
d(x,y) = 0 if x=y = 1 if x=/=y컴퓨터 언어가 이산적이며, 그러한 공간은 나름 정의가 잘 되기에 명제 공간의 metric 공간으로 정의가 될 수 있다면, 그 모습이 discrete 공간의 모습을 띌 수도 있다는 것이 아예 터무니 없어 보이진 않는다. 그러나 우리의 언어는 컴퓨터의 언어보다는 좀 더 유연한 것처럼 보이기 때문에 완전히 동치인 것으로 보이진 않는다.