1.일단 SC는 문장 연산(sentential calculus)의 약자입니다. 기호 다발이 SC 문장에 해당하는지 판단하라는 것은, 기호 논리 언어의 적형식(well-formed formula)인지 아닌지를 판단하라는 뜻입니다. 즉 기호 다발들이 기호 논리 언어에서 문법적으로 적절한 문장인지(비문이 아닌지)를 묻고 있습니다.
2.저 '예외규칙'이라는 낱말이 혹시 어떤 맥락에서 나오는 건지 알아야 할 것 같습니다.
3.이 문제는 말 그대로 기호 다발들을 SC의 문법에 맞는 문장이 되도록 고치라는 문제이기 때문에, 어떤 결론을 연역하거나 할 필요는 없습니다. 사실 SC 언어의 적형식이 아니라면 문장 연산을 할 수도 없겠죠.
4.괄호를 어떻게 집어넣든, 비문을 찾아서 적형식으로 만들어주기만 하면 됩니다. 유일한 답이 있는 것은 아닙니다. 저는 이렇게 해봤습니다.
그렇군요. 구체적인 답변 감사드립니다. 그런데 하나 질문이 생깁니다. (1) ~(~P→~Q→P) 이 명제를,
~((~P->~Q)->P) 이렇게 바꾸어도 적형식이 될 수 있는 것 아닌가요? 또한, ~(P→(~Q→P))
이렇게 바꾸셨는데, 맨 처음에 나오는 P는 ~P 입니다. 어째서 ~P가 P→(~Q→P) 이렇게 된 걸까요??
이 문제입니다. 타당한 논증이란, 전제를 참이라고 전제했을 때 결코 결론을 거짓으로 만들 수 없는 명제입니다.
따라서 타당한 논증의 결론은, 거짓일 수 없다라는 (1)번은 맞다고 생각합니다.
하지만, 의문이 생기는 건 '건전성'에 대한 내용입니다. <달이 치즈로 되어 있다. 달이 치즈로 되어 있으면, 해는 지구이다. 따라서 해는 지구이다> 이 삼단논증은 연역적으로 타당합니다. 하지만 결론은 (현실세계에서) 거짓입니다. 따라서 (1) 번 문제는 틀리다고 생각합니다.
(2)에 대한 질문입니다. 애초에 논리학을 공부하면서, 전제가 F이고 결론이 F여도 우리는 타당한 논증이라고 배워왔습니다. 진리표를 통해 증명할 수도 있구요. 그런데 이는 앞에서 언급한, "전제를 참이라고 전제했을 때" 결론도 참인 논증이 타당한 논증이다 라는 정의와 상이해보입니다.
타당한 논증의 정의가 여러개 인가요? 즉, 전제가 거짓이면, 결론이 참이든 거짓이든 타당한 명제가 될 수 있다! 라고 말을 해야하나요?
아무튼, 이러한 생각에 의하면 (2)는 거짓입니다. 왜냐하면 전제가 거짓이라도 타당한 논증을 자주 접할 수 있기 때문입니다.
또한 건전성의 측면에서, (2)를 따져보면 (현실세계에서) 전제가 거짓이라도 타당한 논증을 만들어낼 수 있으니, (타당한 논증의 전제가 거짓일 수 있으니) (2)는 거짓이라고 판단했습니다. 제 생각이 옳을까요?
타당한 논증이란 말씀하셨듯 “전제가 참일 때, 결론도 참인 논증”입죠. 그러니 타당한 논증의 결론이 거짓일 수도 전제가 거짓일 수도 있습니다요. “전제가 참일 때”의 의미는 전제가 실제로 참이라는 게 아니라 “전제를 참이라고 가정한다면”이라는 뜻이기 때문입니다. 가정과 달리 실제로는 거짓일 수 있응께요잉, 예.
1번에서 제시하신 "달이 치즈로 되어 있다~"논증은 타당하지만 건전하지는 않은 논증입니다. 즉 전제가 모두 참이라고 가정했을 때 결론이 참이지만, 전제와 결론이 실제로 참인 것은 아닙니다. 따라서 이 논증은 (1)의 반례이고, (1)은 틀렸습니다. 타당한 논증의 결론도 실제로는 거짓일 수 있습니다.
2번 질문에서 질문자님은 조건문의 진리함수적 정의와 논증의 타당성을 혼동하고 계십니다. P→Q 형식의 조건문 문장은 전건이 거짓일 때 문장 전체가 참입니다. 하지만 그것은 조건문의 정의이지 논증의 정의가 아닙니다. 전제가 거짓이라고 가정된 논증은 애초에 타당한 논증의 정의와는 동떨어져 있습니다.
3번은 질문자님이 옳습니다. 아까 썼듯이 논증이 타당하다고 해서 그 논증이 건전한 것은 아닙니다. 논증의 전제가 모두 참이라고 가정했을 때 결론이 참이라고 해서, 단순히 그것만으로 전제들과 결론이 실제로 참이라고 할 수는 없습니다. 1번 질문에서 예시된 논증이 대표적인 예시입니다. 따라서 (2)는 틀렸습니다.
(1) 하나 이상의 진술 혹은 명제들(전제)이 하나의 진술 혹은 명제(결론)를 뒷받침하기 위해 제시되었을 때 그 일련의 진술 혹은 명제를 논증이라고 합니다. 전제들이 결론을 어떤 방식으로 지지하느냐에 따라 연역 논증이냐 귀납 논증이냐가 나뉜다고 할 수 있습니다. 저는 형식적 의미의 논증과 일상적 의미의 논증이 어떻게 구분되는지 모르겠습니다. 오히려 그게 구분이 되면 올바른 논증에 대한 체계적 연구로서의 논리학은 일상적인 논증과는 아무런 관계가 없는 학문처럼 여겨질 것 같습니다.
(2) 타당한 논증의 정의는 정확히 말하면 전제가 모두 참일 때 결론이 반드시 참인 논증입니다. 그냥 참이 되는 게 아니라요. 같은 말로 전제가 모두 참이면서 결론이 거짓인 것은 불가능한 논증입니다. 저는 타당성의 개념을 이해하고 기억하실 때 후자로 기억하시는 걸 제안드립니다. 이게 좀 더 의미가 잘 드러나거든요. 타당성의 개념은 단지 전제가 참이면 결론도 참인 명제들의 관계로 포착될 수 없습니다. 그보다 훨씬 강한 개념입니다.
이렇게 보면 어떤 논증이 타당한 논증이라면, 전제가 참이고 결론이 거짓인 경우를 제외하면 모두 타당한 논증의 사례가 될 수 있습니다. (전제 참, 결론 참 / 전제 거짓, 결론 참 / 전제 거짓, 결론 거짓)
덧붙이자면 조건문과 논증의 전제-결론 관계에는 중요한 관계가 있습니다.
p로부터 q로의 논증이 타당하면, 즉 p가 q를 논리적으로 함축하면 오직 그러한 경우에 (p→q)는 필연적으로 참, 즉 tautology입니다.
(3) 논증을 구성하는 각각의 명제가 실제로 참이거나 거짓인가는 논증의 타당성과는 무관합니다.
감사합니다. 덕분에 타당한 논증의 정의를 다시 한번 새겨보았습니다. 혹시 제가 잘 이해하고 정리했는지 한번만 더 읽어봐주실 수 있으실까요?
(1) 타당한 논증의 결론은 거짓일 수 없다.
이 문장은 틀린 문장이라고 보면 되겠네요. (전제 거짓, 결론 거짓) 이라는 명제도 타당한 명제가 될 수 있으니까요.
또한 '건전성' 을 보아도 (1) 문장은 거짓입니다. 왜냐하면 타당한 문장이라도, 실제 세계에서 거짓인 결론을 만들어낼 수 있기 때문입니다.
(2) (2) 타당한 논증의 전제는 거짓일 수 없다.
이 문장 역시 틀린 문장입니다. 왜냐하면, 똑같이 (전제 거짓, 결론 거짓) 이라는 명제가 타당한 명제가 될 수 있으니까요. 즉 전제가 거짓이 될 수 있는거죠.
또한, '건전성'을 보아도 (2)는 거짓입니다. 타당한 명제라도, 실제 세계에서 거짓인 전제로부터, 결론이 타당하게 추론될 수 있기 때문이죠.
다른 분들이 제시해주신 댓글과 상이한 답변인 것 같습니다. 특히 2번에 대해 헷갈리는 부분이 있습니다.
다음은 정리한 논증에 대한 생각입니다.
"타당한 논증의 정의는 전제가 모두 참일 때, 결론이 반드시 참인 논증입니다. 달리 말하면, 전제가 모두 참이면서 결론이 거짓인 것은 불가능한 논증입니다.
이렇게 보면 어떤 논증이 타당한 논증이라면, 전제가 참이고 결론이 거짓인 경우를 제외하면 모두 타당한 논증의 사례가 될 수 있습니다."
(전제 참, 결론 참 / 전제 거짓, 결론 참 / 전제 거짓, 결론 거짓)
이상으로 보았을 때, 전제가 거짓이고 결론이 거짓이라도 '타당한 논증'이 될 수 있는 것이 아닌가요?
TheNewHegel 님께서는 2번 질문에서~ 여기에서, 이걸 부정하고 계셔서 여쭈어봅니다.
(조건문의 정의, 논증의 정의를 딱 집어주셔서 감사합니다. 그렇지만 아직까지 둘의 개념을 명확하게 구분지어 생각할 수준이 못되네요. 여유를 갖고 다시 생각해봐야겠습니다)
벤슨메이츠 <기호논리학> 김영정/선우환 번역본 24-26페이지를 보시면 관련 내용과 예시가 나옵니다. 자세한 내용은 해당 부분 참고 부탁드립니다.
이것들 모두가 논변의 타당성은 단순히 전제들과 결론의 진리치가 무엇이냐에 의존하는 것이 아니라는 점을 보여준다. 타당성은 오직 만일 전제들이 참이라면 결론도 역시 참이라는 것을 보장할 뿐이다. 타당성은 어떠한 전제에서도 그것이 실제적으로 참이라는 것을 보장하지는 않으며, 전제들 중의 하나 혹은 그 이상이 거짓인 경우에 결론의 진리치에 대해 어떠한 정보도 제공하지 않는다.
(1-1) "타당한 논증의 결론은 거짓일 수 없다" : 거짓 - 전제가 거짓이고 결론이 거짓인 타당한 논증이 가능. (예시 : 호랑이는 식물이다 / 식물은 영어를 사용할 수 있다 / 따라서 호랑이는 영어를 사용할 수 있다)
(1-2) "건전한 논증의 결론은 거짓일 수 없다" : 참 - 건전한 논증은 논증이 타당하고 전제가 모두 참이므로 결론이 거짓일 수는 없다.
(2-1) "타당한 논증의 전제는 거짓일 수 없다" : 거짓 - 전제의 진위여부는 타당성과 무관하다. 전제가 거짓이어도 논증은 타당할 수 있다. (위와 동일한 예시 가능)
(2-2) "건전한 논증의 전제는 거짓일 수 없다" : 참 - 건전한 논증의 개념 상 전제는 모두 참이어야 한다. 따라서 거짓인 전제를 포함하는 건전한 논증은 존재하지 않는다.
그리고 "타당한 논증"과 "타당한 명제"는 구분해서 쓰셔야 합니다! 아마도 일상 언어 논증을 다루실 때에는 "타당한 명제"라는 말을 쓰실 일은 없지 않을까 싶네요. 저건 의미론적으로 정의된 용어라!
제가 헷갈려하던 문제점들을 딱 정확하게 나눠 집어주셨습니다! 감사합니다.
제가 고민했던 건, (1) "타당한 논증의 결론은 거짓일 수 없다" 이 자체가 중이적으로 해석될 수 있었기 때문입니다. 그 중이성을 해소한 것이 Raccoon 님의 댓글이라고 생각하고요.
왜냐하면 타당한 논증의 결론은 거짓일 수 없다 라는 문장을 보고, 이 문장이 또 건전성을 가지느냐, 가지지 않느냐에 따라 여러 답이 나올 수 있었기 때문에 제가 질문들을 드렸던 것 같습니다.
이제는 뭐,,, 앞으로 그냥 딱 구분지어 생각하기로 했고 제시해주신 것처럼 케이스를 나눠 명확하게 생각하려고 합니다. 감사합니다.
