- Predicativism
- 수학 철학에 대한 서술적predicative접근이라 불려지는 것 뒤에 있는 기초적인 원리는 악성 순환 원리vicious circle principle(vcp)로 알려져있다.
- ramified theory of types이라 불리는 이론에서는 vcp를 근본적인 것으로 간주한다.
- 서술적(가술적)이라는 말은 비-서술적impredicative라고 불리는 정의들과 설명들의 부정의 형태로 설명되는데, 비-서술적이란 것은 이는 vcp를 위반하는 것에 사용된다.
- 러셀과 vcp
- vcp를 수용해야 하는 이유 : 역설에 대한 해결책이 가능하다, 상식과의 조화consonance with common sense를 가진다.
- 러셀 집합의 역설, Grellings의 역설, 베리의 역설 등에 대한 러셀의 진단은 적법하지 않은 양화사가 존재한다는 것, 즉 총체total를 가지지 않는 한 모임에 대한 양화;
- 러셀은 일반적으로 자기-지시라 부르는 것과 '자기-양화'라 불릴 수 있는 그러한 양화 사이의 연관성을 인식한다. 이 때, 자기 양화란, 한 대상을 도입할 때, 그 대상 자체를 포함하는 한 모임에 대한 양화를 이용하는 것.
- 악성 순환원리를 준수하기 위한 시도는 항상 계층들을 성립케한다. 포함이나 전제하는 것 등은 오직 그러한 지시나 양화가 더 높은 순서에서 정의가능하다는 것으로 제약하는 방식이 된다 - 앞선 모든 역설에 대한 해결이 될 것이라 보지만, 그렇지 않다
<각주 3. Giaquinto는 의미론적 역설의 두 가지 다른 종류사이의 구별을 이끌어 낸다(2002, pp75-9)>
- 두 가지 반대 : (1) 해결책이 과도해보인다; (2) 유일한 해결책이 아니다.
- 너무 많은 문장을 올바른 종류의 것이 아닌 것으로 배제해야 한다 :
e.g.1. "This sentence is in English", "All english sentence can be translated into French"; 이 두 문장에 대해, 러셀은 이것이 정의의 예시가 아니라 할 것이지만, 이것은 vcp에 따르면 배제되어야 한다.
- zf에서는 이러한 역설을 막기 위해 '규모의 제약limitation of size'원리를 도입.
- 러셀이 ramified theory의 문제로 유도한 것은 렘지가 '의미론적' 역설로 특징짓는 많은 다른 역설에 대한 해결을 원하던 것; 의미론적 역설은 문장에 참이 됨과 같은 의미론적 개념을 포함하고 있는 것이다. 렘지는 이러한 역설에 대한 해결책은 의미론으로 남겨두고, 수학과 분리하고자 했다 - 즉, 동일한 이론이 집합론의 역설과 의미론적 역설을 해결해야해야 한다고 가정할 이유가 없다는 것;
<각주 4. 관련하여 명확히 표현된 일반적인 논의 Sainsbury(1995, ch5)>
- 상식과의 조화를 가진다는 문제를 알아보기 위해선, 추가적인 명료화가 필요하다 :
i) 이것은 오직 추상적인 대상들에 적용된다 - 구체적인 대상들은 다양한 방식으로 명시될 수 있다; 가령 원리상으로 양화사를 포함하지 않고, 단순히 지시사를 이용하여 명시 가능. 따라서, 여기에선 vcp가 적용되지 않는다.
ii) 하지만 추상적인 대상들도 다양한 방식으로 명시될 수도 있을 것 : 집합의 경우 표준적인 명시는 맴버쉽 관계를 드는 것; 명제는 그 명제를 표현하는 that-구절 등 - 단순성을 위해 집합에 대한 고려로 한정;
- vcp는 기본적으로 집합의 모든 표준적인 명시들이 비-서술적인 그러한 집합은 존재하지 않는다는 것; 이는 동일한 집합이 다른 표준적인 명시들을 가질 수 있다는 것이다 - 이것의 맴버쉽을 진술하는 다른 방식들이 있을 수 있다.
iii) 무엇을 집합의 서술적인 명시로 간주할 것인가에 대한 모호성이 존재한다. 왜 ramified 혹은 단순 유형이론의 순서를 모든 항목이 수용해야 하는가에 대한 명료한 이유 부재;
- 전체 양화에 관한 문제에서 공통적인 문제는 정의가 새로운 대상을 창조한다는 것 - 이는 추상적인 대상들의 존재에 대한 개념주의 입장을 수용해야 한다; 이에 따르면 추상적 대상이 존재하고 이는 정신의 활동에 이들 존재가 의존하고 있다는 것; 이는 실재론자들이 동의하지 않는 입장이다. 러셀은 실재론자들이 상식적이지 않으며, 개념주의는 상식적이라 지지
<각주 6. 괴델은 개념주의와 유명론을 구별하지 않지만, 유명론에 더 관심을 가진다. 러셀도 유명론적인 경향이 있으나, 이것이 상식적인 것으로 간주할 수 있을진 모호하다>
- 개념주의를 피하는 동시에 또 다른 접근법은 Demopoulos&Clark(2005) : ramification은 임시방편적이지도, 우리의 인식론적 접근도 반영한다 - 계층에 있는 함수들은 그 아래 있는 것들에 대한 우리의 평가에 의존한다
- 한계 : vcp를 정당화 하기 위해선, '그 아래 있는 것'에 대한 설명이 보충되어야 함; 러셀은 이것의 값을 개별적으로 각기 파악할 필요가 없이도 함수는 파악될 수 있다고 본다.
- 이러한 해석은 러셀이 의존하는 개념주의에 의존하는 것; 러셀은 이후 수정된 vcp에서, 이것은 상식적이라 논평하는데, 이러한 관점은 추상적인 대상은 오직 그것이 정의가능하기 떄문에 존재한다는 관점인 것이다.
- 그러나 이러한 관점은 서술적 정의에 대한 정당화는 허용할 지라도, 왜 비-서술적 정의는 서술적 정의처럼 수행할 수 없는지 물을 수 있다 : 이에 대해선 러셀이 zf에 대한 표준적 해석 뒤에 '구성'에 대한 비유의 종류에 동의하고 있다고 가정해야 할 것 - 그러나 이는 쉽게 생각될 수 있다 : 집합은 그것의 맴버가 존재하지 않는 한 존재할 수 없기 때문이다.
- 반대의견 : 한 총체를 지시는 그 총체의 모든 대상들에 대한 양화인데, 이는 '모든 그러 그러그러한 것들'의 형식을 가진 표현식의 사용이다; 일상적으로 우리는 :
i) 그러한 사용이 그러그러한 것들의 '그 총체'로 요청되는 단일한 항목의 존제를 전제하는 것으로 생각하진 않는 것 같다.
ii) 일반적인 경우에, 우리는 모든 것이 이미 존재하는 가정 없이 모든 그러그러한 것들의 양화할 수 있는 것 같다.
iii) 모든 그러그러한 것들에 대한 양화가 의미있다면, 우리는 그러그러한 것들이 무엇인지 이해해야 하고, 이 표현식의 의미를 알아야 한다. 하지만, 그러그러한 모든 것을 우린 알 필요 없다
- 그러나 러셀의 no-class theory에서 그는 맴버쉽으로 이해되는 클래스에 대한 언급을 제거하고, 명제함수들에 대한 양화를 의도한다, 그렇다면 구성 비유는 이러한 경우, 합리적이지 않게 된다 : 명제함수는 외연적으로 동치라도, 다른 순서들의 함수가 있을 수 있다 : 그런데 명제 함수는 그 값들이 이미 잘 정의되지 않는 한 잘 정의되지 않는다는 관점에서 '이미'에 대한 논증이 부족하다.
- 러셀의 ramified theory, 환원가능성 공리
- ramified thoery에 따르면, 순서 2의 함수는 순서 1의 함수에 대해 양화할 수 있는 경우이다. 그렇다면, 순서2의 함수는 단계1에 있는 것도 있으며, 단계2에 있는 것도 있다 :
(x)(F_2(x) iff (G_1)(G_1(x) iff G_1(a))
(G_1)(M_2(G_1) iff ∃xG_1(x))
<formula에서 단순히 양화가 가능한 것은(가령 첫째 예시처럼) 순서로 구별; 반면 피정의항의 함수가 취하는 변수의 최대 순서로 단계의 높이가 구별된다>
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따라서 명제함수의 구별은, 러셀에 따르면, 레벨로 구별하는 것과 순서들로 구별하는 것은 단순히 교차 구별인 것; 다른 구별이 다른 구별을 함의하지 않는다. 러셀은 레벨에서의 구별이 vcp를 도출한다고 주장하지만 증명은 없다
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결국 다른 레벨들에 있는 명제 함수는 동일하게 정확한 맥락들에서 발생할 수 없다, 즉 그 결과가 단순 비-문법적이다. 따라서, 단계들의 계층은 엄격한 계층 - 즉, 바로 아래것들만을 인수로 가진다;
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하지만 순서들의 계층은 축적적 계층으로 간주될 수 있다; 변수들은 어떤 주어진 순서까지의 모든 순서들의 함수들을 전부 범위로 가진다. 이것은 여전히 vcp를 만족하게 될 것이다 - 따라서 한 계층에서 다른 계층을 도출하는 단순한 방식은 존재치 않는다.
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러셀은 n보다 낮은 순서의 단계 n의 함수가 존재할 수 없다는 것; 그리고 단계 n에서의 함수가 순서 n에서의 함수인 것을 그는 서술적 함수라 부른다 - 그러나 이를 왜 서술적인 것으로 용어를 채택하는지는 불분명하다; 일반적인 요구사항은 양화사는 속박 변수들이 어떤 확정적인 레벨 n과 확정적인 순서 m인 m>=n일 때만 허용된다는 것; 다른 양화사들은 잘못된 것으로 요구하는 것이다; 이러한 것이 러셀의 분지 유형 이론이다.
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논리로부터 산술화에 대한 어려움 :
<ramified theory의 속박변항 표현에는 순서가 확정되어야 하는 자체 시스템 상으로 인해 나타나는 문제 >
< ramified theory에서 속박 양화사는 특정한 순서를 속박하는 양화사이므로, 모든 순서 술어에 대해 정의되는 개념은 불만족스러운 정의가 발생할 수도 있다> :
e.g.1 a=b iff (F)(Fa iff Fb) : 여기서 양화사 F는 일차 레벨의 모든 술어를 범위로 가진다. 그러나 각 변수 F는 어떤 확정된 순서의 일차 단계 술어여야 하고, 그렇다면, 이 정의는 a와 b가 그 순서에서 전부 동일할지라도, 더 높은 순서에서 동일하지 않을 가능성을 배제하진 않는다*<만일 모든 순서로 변수를 상정한다면, 이는 vcp에 위배될 것>*그러나 이는 동일성 개념에 우리가 기대하는 것이 아니다. -
해결책 : 동일성을 원시적이며, 비정의 개념으로 간주하기 : (a=a)&(a=b →(Fa iff Fb)) - 이는 공리도식이고, 모든 순서를 포함하는 것이기에 문제를 회피한다.
e.g.2. 문제 2. 동수성 정의 : 동수성은 모든 순서들에서의 모든 관계들에 대해 양화하는 것으로 이해한다. 하지만 속박 변수의 순서는 명시되어야 하며, 그것이 수행된다면, 그 결과는 어떤 확정된 순서에서 동수성인 개념이 더 높은 관계에서 그 관계를 만족하는지 보장을 못한다.
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해결책 : 환원가능성 공리 도입 - 주어진 레벨 내에서 임의의 순서를 가진 어떠한 명제함수들도, 그 레벨에서 가장 낮은 순서인 또다른 것에 상응하는 것이 존재한다; 여기서 상응한다는 것은 동치임을 의미; 즉, 그들 상응하는 것을 우리는 그 레벨에서의 '서술적'함수라 부른다*
<각각의 단계에서, 단계에 존재하는 명제함수들은 전부 레벨 이상의 수를 가지는 것이 최소한도의 요구기 때문에, 가장 낮은 순서는 단계와 동일한 수가 될 것이며, 따라서 서술적 정의(비록 러셀은 이 기준이 왜 서술적인지 말하진 않았지만서도)에 도달하게 된다> -
환원가능성 공리는 클래스들에 대한 표기를 도입하는 러셀의 방식에 적용되면서도, 그의 no-classes thoery를 유지할 수 있다 : {x | Fx} for ∃G(∀x(Fx iff Gx)&( ...G...)) - 이 정의는 이제 순서가 확정되지 않았기에, 적형식이 아니다. 변수가 어떤 순서로 확정될 필요가 있다. 순서를 1로 고정시키면, 환원가능성 공리는 임의의 순서의 임의의 함수는 동치인 서술적 함수가 존재함을 보장하기에, 그 정의를 만족하는 클래스를 결정할 것이다.
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러셀은 명제함수에 대한 클래스가 항상 존재하며, 클래스들은 다른 순서가 되는 클래스들과는 구별되지 않기 때문에 환원가능성과 클래스의 개념을 밀접히 연관시키고 있다.
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질문 : 왜 첫번째로 ramified theory의 정교화(각 레벨에 순서 도입)를 도입한 다음, 그것을 무시하는 것을 허용하는 환원가능성 공리를 수용하는가?
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답변 : 이 공리는 수학을 수행할 때, 순서의 구별을 무시하는 것을 허용한다. 왜냐하면, 수학에서의 명제함수는 전부 외연적 함수; 반면, 우리가 관련된 명제함수의 의미론적 역설을 고려할 땐, 이는 외연적이지 않으며, 따라서 환원가능성 공리는 역설을 도입하지 않는다 :
e.g.1. whatever is at any time assrted of a is false of a
- 이는 역설을 초래하며, 양화사적 표현(whatever is asserted)를 포함하지만, 적형식이 아니다 - 따라서, 순서를 명시해야 한다. 가령 1차함수라 할 때, e.g.1.은 다음과 같다 :
e.g.2. whatever first-order propositional function is at any time asserted of a is false of a
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여기서 a에 대해 주장하는 것은 일차 함수가 아니라, 이차 명제함수이다<양화사가 이차에 걸쳐있다>; 따라서 내가 a에 대해 주장하는 것은 허무하게 참이다; 왜냐하면 가정에 따라 어떠한 일차 명제함수도 a에대해 주장되지 않았기 때문. 그리고 이것은 a에 대해 거짓도 아닌게, 그 자체가 일차 명제함수가 아니기 때문.
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환원가능성 공리는 동치인 일차함수를 보장하고, 따라서 a에 대해 참인 일차함수가 존재한다. 그러나 이것으로부터 모순이 따라나오는 것은 아니다. 왜냐하면 우리는 a에 대해 참인 일차함수가 a에 대해 주장된 것이라 볼 이유가 없다 : 두 함수는 외연적으로 동치이나 내포적 함수 ''... is asserted of a'가 다른 동치인 함수가 참이라 해도, 그것이 참인 것이여야한다는 것은 따라나오지 않는다.
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그러나 러셀은 환원가능성 공리가 참이라거나 자기 근거적인 것, 혹은 상식과 조화를 가진다고 주장하진 않았다. 자기증거적이라 판단하지 말아야 한다고 논했지만(1907), 원하는 결과를 산출하고 원하지 않는 것은 산출안한다고 판단되어야 한다고 말한다. 그러나 여전히 러셀의 관점에서는 이것은 거짓이다 왜냐하면 수용하지 말아야할 이유가 있다.
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vcp는 개념주의적 관점을 택한다. 그렇다면, 대상을 구성하는 것보다는 정의하는 것과 연관된다. 그리고 이러한 입장에서는 추상적 개체는 적합한 종류의 정의를 가져야만 존재한다; 그렇다면 비-서술적 정의는 적합한 것으로 간주되지 않는다; 우리의 언어는 그러나 가산적으로 많은 정의들을 가져야 하지만, 그리고 모든 표현식은 유한한 길이를 가져야 한다. 따라서 추상적 대상은 그것을 표현하는 적합한 방식이 존재하는 것이 되는데, 그렇다면 기껏해야 가산적으로 많은 대상들이 존재한다. 그리고 러셀의 no-class theory는 클래스에 대한 언급은 그러한 것들을 정의하는 명제함수에 대한 언급으로 대체될 수 있고, 결과적으로 비가산적으로 많은 명제함수들이 존재하게 되는 것을 함의한다. 따라서 프린키피아의 접근은 실패하고, 이것의 공리들 중 하나는 거짓이 되어야 한다. 그러나 프린키피아는 칸토어의 정리를 포함하므로, 이러한 반성 하에서, 범인은 환원가능성 공리라는 것을 쉽게 볼 수 있다 :
pf) (0, 1)구간에서의 실수가 가산적이라면, 그러한 목록을 서술할 수 있다. 그러한 모든 실수를 양화하는 것을 순서 n이라 하자. 칸토어의 대각선 논증을 행하면, 새로운 실수가 (0,1)에 있는데, 이 정의는 모든 실수에 대해 양화하므로 n+1의 순서를 가지나, 환원가능성 공리에 의해 동치인 n 순서인 함수를 가지며, 따라서 이는 원래의 목록에 있어야 한다. 모순이다.
- 러셀 이후 vcp를 수용하는 다른 이들은 환원가능성 공리를 인정하지 않는다. 그러나 그들은 추상적 대상들이 가산적이라는 것을 전부 수용한다. 그리고 그들의 입장은 실수는 그것 전부를 포함하는 순서를 가지지 않는다는 입장이다.