벤슨 메이츠 <기호 논리학> 2.5 집합

질문
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기호논리, 수리논리학을 공부하기 위한 기초작업으로 벤슨 메이츠를 공부 중 입니다.

문제는 벤슨 메이츠도 서문에 서술해놓았듯, 교수자의 도움 없이 독학하기 어려운 책이라는 점이죠.

학교 교수님께 도움받기도 하지만, 이번 추석 연휴가 너무 긴지라..

공부 중에 2.5 집합(Set) 파트에서 이해가 잘 가지 않는 부분이 생겨 글을 씁니다.

문제가 되는 문장은 다음과 같습니다.

'(n+1)항 관계 R이 집합 D에 관해서 n항 연산일 경우에 오직 그 경우에만, D의 대상들의 각 n중체 <x1, x2,...,xn)에 대해, <x1, x2,...,xn,y> ∈ R인 D의 대상 y가 정확히 하나 존재한다'

관계 R이 n항 관계일 수 있다는 점, 그리고 관계가 집합으로 설명될 수 있다는 점, 따라서 n항 관계 R이 순서 n중체를 원소로 가질수 있다는 점 까지는 이해했습니다.

그런데 n항 연산이 어떤 맥락에서 나오는지, (제 기억으로는 위에서 언급한 문장이 책에서 'n항 연산'이라는 단어가 나오는 첫 번째 문장입니다.)
관계 R과 집합 D는 무슨 관련이 있는건지 이해가 잘 안됩니다.

답변해주시면 감사하겠습니다ㅠ

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정확히 어떤 맥락에서 나온 것인지 몰라서 조심스럽지만, 관계 R이 n항 연산일 수 있는 경우를 정의하는 문장인 것으로 사료됩니다.

그렇다면 이 문장은 예컨대, R=덧샘 "1+2=3" 이라는 연산이 있다고 하면 <x1,x2,y>는 <1,2,3>으로 y는 x가 1,2일 때 단 하나의 숫자만 할당될 수 있습니다. 그렇다면 R는 집합 D에 관해 n항 연산입니다.

그런데, 만약 R=~보다 크다 "x>y" 라고 한다면 x가 3 이라고 할 때, y에는 하나의 숫자만 할당되지 않습니다. 이 경우, R이라는 관계는 집합 D(실수집합)에 관해 n항 연산이 아닌 것입니다.

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제가 앞의 맥락을 빼먹었군요ㅠㅠ

함수인 이항관계가 앞의 중요 포인트이었던거 같습니다. n항연산의 개념이 함수개념의 자연스러운 확장이라고 하면서요..

벤슨 메이츠에 의하면 이항관계 R이 함수이기 위한 필요충분조건은,

이항관계 R이 함수이다.
iff)
모든 대상 x,y,z에 대해 xRy이고 xRz이면, y=z이다.

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그러면 이때 R은 3항관계인건가요?

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아닙니다, xRy는 R(x,y)로 이항(n+1)으로 구성된 관계입니다.
xRy가 있고 xRz가 있다면 만약 이것이 n항 연산(이 경우엔 1항연산)이기 위해서는 y와 z가 같아야 겠지요.
왜냐하면 예컨대, R이 일대일대응 관계의 연산이라고 한다면 동일한 x가 가져오는 결과는 같아야 할 것이니까요.

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아, 제가 댓글 순서를 바꿔쓸걸 그랬네요

관계 R이 덧셈이라고 할 때 들어주신 예시에서, 관계 R이 3항관계인지가 제가 궁금한 부분이었습니다.

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아 맞습니다. 위 예시에서의 덧셈은 3항관계의 2항연산이지요.

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'+'라는 연산자와 함수 개념을 곰곰히 생각해보니 이해가 진척된 듯 합니다.

수학적 관계 말고, 관계 R에 해당하는 보다 일상적인 관계는 무엇이 있을까 고민 중인데 그게 잘 안떠오르네요ㅠ

일단 도와주셔서 감사합니다!

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교수님께 여쭤보니 일상적인 2항 연산과 3항 관계의 예시로 X와 Y의 자식을 들어주시네요. 똑똑한 분들이 많은 곳이라 이 댓글이 유의미할지는 잘모르겠지만, 질문만 하기는 뭣하여 조그마한 예시라도 남깁니다.

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